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Objectifs- Etablir l’équation différentielle qui régit la charge instantanée q (t) d’un condensateur, la tension uC(t) à ses bornes et l’intensité i(t) du courant qui parcourt le circuit de charge durant le régime transitoire.
- Déterminer graphiquement, à partir des courbes de réponse uC(t) ou i(t) d’un dipôle RC soumis à un échelon de tension, la constante de temps τ = R.C.
ContenuI. Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension
1. Etude experimentale
2. Etude théorique
II. Décharge d’un condensateur dans un résistor
1. Etude experimentale
2. Etude théorique
III. La durée de charge ou décharge d’un condensateur
1. Influence de la résistance R
2. Influence de la capacité C
3. Constante de temps d'un dipôle C
I. Réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension Le dipôle RC est constitué d’un résistor de résistance R associé en série avec un condensateur de capacité C.
A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur à la position 1. La tension aux bornes du dipôle RC passe alors instantanément de 0 à E : c’est un échelon de tension.
Le dipôle RC est constitué d’un résistor de résistance R associé en série avec un condensateur de capacité C.
A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur à la position 1. La tension aux bornes du dipôle RC passe alors instantanément de 0 à E : c’est un échelon de tension.
1. Etude experimentale
L’oscilloscope enregistre les oscillogrammes traduisant les variations de la tension u = E = uDBdélivrée par le générateur et la tension uC = uAB aux bornes du condensateur.
La tension uAB aux bornes du condensateur croît progressivement jusqu’à devenir égale à E. Comme q = C.uAB, la charge du condensateur évolue de manière similaire à uAB.
Conclusion :
La réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension est la charge du condensateur. N’étant pas instantanée, celle-ci constitue un phénomène transitoire.
2. Etude théorique
\(u_{DA} + u_{AB} = E\)
Soit \(R.i + u_C = E\)
Soit \(R.i + u_C = E\)
Or \(i = \frac{{dq}}{{dt}} = C\frac{{du_C }}{{dt}}\)
donc \(u_C + RC\frac{{du_C }}{{dt}} = E\)
ou bien \(\frac{{du_C }}{{dt}} + \frac{1}{{RC}}u_C = \frac{1}{{RC}}E\)
Soit
\(\frac{{du_C }}{{dt}} + \frac{1}{\tau }u_C = \frac{1}{\tau }E\) (1)
avec \(\tau = RC\)
Équation différentielle en uC avec second membre non nul.
\(u_C = \frac{q}{C}\) et \(i = \frac{{dq}}{{dt}}\) . De la même équation différentielle, on en déduit :
\(\frac{{dq}}{{dt}} + \frac{1}{\tau }q = \frac{E}{R}\) (2)
et
\(i + \frac{1}{\tau }\int i dt = \frac{E}{R}\) (3)
et
\(i + \frac{1}{\tau }\int i dt = \frac{E}{R}\) (3)
Expression de uC(t) :
La solution de l’équation différentielle (1) est de la forme :
\(u_C \left( t \right) = B + Ae^{ - \alpha t}\)
Expression de q(t) :
\(u_C \left( t \right) = B + Ae^{ - \alpha t}\)
où A, B et α sont des constantes à déterminer.
A t = 0, uC = A + B = 0, d'où B = - A.
Il vient : \(u_C \left( t \right) = A\left( {e^{ - \alpha t} - 1} \right)\)
La dérivée de uC(t) par rapport au temps s'écrit :
\[\frac{{du_C }}{{dt}} = - \alpha Ae^{ - \alpha t} \]
\[\frac{{du_C }}{{dt}} = - \alpha Ae^{ - \alpha t} \]
(1) donne : \( - \alpha Ae^{ - \alpha t} + \frac{1}{\tau }A\left( {e^{ - \alpha t} - 1} \right) = \frac{1}{\tau }E\)
D’où : \( - A + \left( {1 - \tau \alpha } \right)Ae^{ - \alpha t} = E\)
En égalisant membre à membre :
A = - E et \(1 - \tau \alpha \) c.à.d. \(\alpha = \frac{1}{\tau }\)
Ainsi :\(u_C \left( t \right) = E\left( {1 - e^{ - \frac{t}{\tau }} } \right)\)
La courbe représentative de uC(t) est :
L’expression de la charge q du condensateur est q(t) = C.uC(t), d’où :
$q\left( t \right) = {Q_0}\left( {1 - {e^{ - \frac{t}{\tau }}}} \right)$ avec
La courbe q(t) présente une allure analogue à celle de uC(t)
Expression de i(t) :
On a : \(i\left( t \right) = \frac{{dq}}{{dt}}\) et \(q\left( t \right) = Q_0 \left( {1 - e^{ - \frac{t}{\tau }} } \right)\) avec \(Q_0 = C.E\) donc :
\(i\left( t \right) = I_0 e^{ - \frac{t}{\tau }} \) avec
Les variations de l’intensité i du courant dans le circuit au cours du temps :
Les variations au cours du temps de i(t) et uDA(t) = R.i(t) sont analogues. On visualiser simultanément l’évolution de la tension uC(t) et l’intensité i(t) :
- sur la voie Y1, la tension uDA = Ri aux bornes du résistor.
- sur la voie Y2, la tension uAB aux bornes du condensateur au lieu de uBA et ce, en appuyant sur le bouton INV
II. Décharge d'un condensateur dans un résistor1. Etude experimentale
Le condensateur étant préalablement chargé, on bascule le commutateur dans la position 2. Sur la voie Y2 de l’oscilloscope à mémoire, on enregistre l’oscillogramme traduisant uC(t) suivant :
A t = 0, uC = E. Par la suite uC décroît du fait que l’énergie emmagasinée par le condensateur pendant la charge, est progressivement dissipée dans le résistor. La tension uC décroît jusqu’à s’annuler. De même pour la charge q.
2. Etude théorique
uC + uR = 0 d’où uC + R.i = 0Or \(i = \frac{{dq}}{{dt}} = C\frac{{du_C }}{{dt}}\), donc\(u_C + RC\frac{{du_C }}{{dt}} = 0\) ou bien
\(u_C + RC\frac{{du_C }}{{dt}} = 0\) ou bien
C’est une équation différentielle en uC sans second membre.
\(\frac{{dq}}{{dt}} + \frac{1}{\tau }q = 0\)
\(\frac{{dq}}{{dt}} + \frac{1}{\tau }q = 0\)
et
\(i\left( t \right) + \frac{1}{\tau }\int i dt = 0\)
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Expression de uC(t) :
La solution de l’équation différentielle (4) est de la forme :
${u_C}\left( t \right) = A{e^{ - \alpha t}}$ où A et α des constantes à déterminer.
(4) donne : $ - \alpha E{e^{ - \alpha t}} + \frac{1}{\tau }E{e^{ - \alpha t}} = 0$ donc $ - \alpha E{e^{ - \alpha t}} + \frac{1}{\tau }E{e^{ - \alpha t}} = 0$
${u_C}\left( t \right) = A{e^{ - \alpha t}}$ où A et α des constantes à déterminer.
A t = 0, uC = E donc A = E
C’est que ${u_C}\left( t \right) = E{e^{ - \alpha t}}$ et $\frac{{d{u_C}}}{{dt}} = - \alpha E{e^{ - \alpha t}}$(4) donne : $ - \alpha E{e^{ - \alpha t}} + \frac{1}{\tau }E{e^{ - \alpha t}} = 0$ donc $ - \alpha E{e^{ - \alpha t}} + \frac{1}{\tau }E{e^{ - \alpha t}} = 0$
${u_C}\left( t \right) = E{e^{ - \frac{t}{\tau }}}$
La courbe représentative de la fonction uC(t) au cours de la décharge est :
Expression de q(t) :
Expression de i(t) :
$q\left( t \right) = {Q_0}{e^{ - \frac{t}{\tau }}}$ avec Q0 = C.E
La courbe q(t) présente une allure analogue à celle de uC(t)
$i\left( t \right) = - {I_0}{e^{ - \frac{t}{\tau }}}$ avec ${I_0} = \frac{{{Q_0}}}{\tau } = \frac{{C.E}}{{RC}} = \frac{E}{R}$
Les variations de l’intensité i du courant dans le circuit au cours du temps :
On note bien pour i(t) le signe contraire de celui de l’intensité du courant de charge, c’est à dire que le courant de décharge circule dans le sens contraire de celui de charge.
On peut visualiser simultanément l’évolution de la tension uC(t) et l’intensité i(t) lors de la décharge :
III. La durée de charge ou de décharge d'un condensateurConsidérons le montage suivant :
1. Influence de la résistance R
Faisons varier la résistance R du résistor, on obtient les résultats suivants (pendant la charge) :
Le temps de charge augmente avec la résistance R.
2. Influence de la capacité C
Pour le même, montage faisant varier C en gardant R constante.
Le temps de charge augmente avec la capacité C.
Remarque : On obtient les mêmes résultats lors de la décharge du condensateur : La durée de décharge augmente avec R et C.3. Constante de temps
La durée de charge d’un condensateur est proportionnelle à R et à C donc au produit RC.
La durée de charge d’un condensateur est proportionnelle à R et à C donc au produit RC.
RC est appelé constante de temps, noté τ.
τ = RC : constante de temps
La constante de temps τ est une grandeur caractéristique du dipôle RC, elle renseigne sur la rapidité avec laquelle s’établit la tension uC = E entre les armatures du condensateur. La charge et la décharge du condensateur sont d’autant plus rapides que la constante de temps τ est plus petite.
La dimension de τ :
$\tau = R.C = \frac{{\left[ U \right]}}{{\left[ I \right]}}.\frac{{\left[ I \right]\left[ T \right]}}{{\left[ T \right]}} = \left[ T \right]$ . La constante τ est bien homogène à un temps.La détermination de τ :
Par le calcul :
Connaissant les valeurs de C et de R, on peut calculer directement la valeur de la constante de temps τ = RC.
Détermination graphique :
1ère méthode :
On trace la tangente à la courbe de charge ou de décharge uC(t) au point d’abscisse t = 0.
Cette tangente a pour équation uC = a.t, a étant son coefficient directeur dont la valeur est donnée par :
$a = {\left. {\frac{{d{u_c}}}{{dt}}} \right)_{t = 0}}$ or $\frac{{d{u_c}}}{{dt}} = \frac{E}{\tau }{e^{ - \frac{t}{\tau }}}$ donc $a = {\left. {\frac{{d{u_c}}}{{dt}}} \right)_{t = 0}} = \frac{E}{\tau }$
d’où l’équation de la tangente : ${u_C} = \frac{E}{\tau }t$ .
L’intersection de cette tangente avec la droite uC= E donne t = τ.
La même méthode de détermination graphique de τ s’applique à la courbe de décharge.
Remarque :
On peut déterminer τ en traçant la tangente à la courbe i(t) au point d’abscisse t = 0.
* Dans le cas de la charge du condensateur, en remplaçant t par τ dans l’expression de uc(t), on obtient :
uC = E(1-e-1) = 0,63 E.
τ correspond donc au temps nécessaire pour charger un condensateur à 63%.
L’abscisse du point de la courbe uC(t) d’ordonnée 0,63E est τ
* Dans le cas de la décharge, en remplaçant t par τ dans l’expression de uC(t), on obtient uC = E e-1 = 0,37E.
τ est alors l’abscisse du point de la courbe uC(t) d’ordonnée 0,37E.
Intérêt pratique de τ :
La tension uC aux bornes du condensateur, étant donnée par l’expression uC(t) = E (1-e-t/τ) pendant la charge et par l’expression uC(t) = E e-t/τ pendant la décharge, atteint respectivement les valeurs uC = E et uC = 0 au bout des durées t infinies respectivement de charge et de décharge, ce qui n’est pas physiquement pratique.
On admet alors que le condensateur est complètement chargé ou déchargé quand la différence relative entre la valeur atteinte par uCet la valeur asymptotique E (pour la charge) ou zéro (pour la décharge) ne dépasse pas 1%.
Pour la charge par exemple :
$\frac{{E - {u_C}}}{E} \le 1\% $ c.à.d. $E - {u_C} \le 0,01E$ d'où ${u_C} \ge 0,99E$
Or ${u_C}\left( t \right) = E\left( {1 - {e^{ - \frac{t}{\tau }}}} \right)$
Donc à t = tcharge on a : $0,99E = E\left( {1 - {e^{ - \frac{{{t_{ch\arg e}}}}{\tau }}}} \right)$ ce qui donne $\log \left( {{e^{ - \frac{{{t_{ch\arg e}}}}{\tau }}}} \right) = 0,01$
C.à.d. $\frac{{{t_{ch\arg e}}}}{\tau } = 2\ln 10 = 4,6 \approx 5$
tcharge = 5τ
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