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Objectifs

Etablir l’équation différentielle qui régit la charge instantanée q (t) d’un condensateur, la tension u_C(t) à ses bornes et l’intensité i(t) du courant qui parcourt le circuit de charge durant le régime transitoire.
Déterminer graphiquement, à partir des courbes de réponse u_C(t) ou i(t) d’un dipôle RC soumis à un échelon de tension, la constante de temps τ = R.C.

Contenu

I. Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tensionErreur ! Signet non défini.

1. Etude experimentaleErreur ! Signet non défini.

2. Etude théoriqueErreur ! Signet non défini.

II. Décharge d’un condensateur dans un résistorErreur ! Signet non défini.

1. Etude experimentaleErreur ! Signet non défini.

2. Etude théoriqueErreur ! Signet non défini.

III. La durée de charge ou décharge d’un condensateurErreur ! Signet non défini.

1. Influence de la résistance RErreur ! Signet non défini.

2. Influence de la capacité CErreur ! Signet non défini.

3. Constante de temps d'un dipôle C

I. Réponse d'un dipôle RC à un échelon de tension

Le dipôle RC est constitué d’un résistor de résistance R associé en série avec un condensateur de capacité C.

A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur à la position 1. La tension aux bornes du dipôle RC passe alors instantanément de 0 à E : c’est un échelon de tension.

1. Etude experimentale

L’oscilloscope enregistre les oscillogrammes traduisant les variations de la tension u = E = u_DBdélivrée par le générateur et la tension u_C = u_AB aux bornes du condensateur.

La tension u_AB aux bornes du condensateur croît progressivement jusqu’à devenir égale à E. Comme q = C.u_AB, la charge du condensateur évolue de manière similaire à u_AB.

Conclusion :

La réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension est la charge du condensateur. N’étant pas instantanée, celle-ci constitue un phénomène transitoire.

2. Etude théorique

$u_{DA} + u_{AB} = E$
Soit $R.i + u_C = E$

Or $i = \frac{{dq}}{{dt}} = C\frac{{du_C }}{{dt}}$

donc $u_C + RC\frac{{du_C }}{{dt}} = E$

ou bien $\frac{{du_C }}{{dt}} + \frac{1}{{RC}}u_C = \frac{1}{{RC}}E$

Soit

\(\frac{{du_C }}{{dt}} + \frac{1}{\tau }u_C  = \frac{1}{\tau }E\)             (1)
avec  \(\tau  = RC\)
Équation différentielle en uC avec second membre non nul.

$u_C = \frac{q}{C}$ et $i = \frac{{dq}}{{dt}}$ . De la même équation différentielle, on en déduit :

\(\frac{{dq}}{{dt}} + \frac{1}{\tau }q = \frac{E}{R}\)             (2)
et
\(i + \frac{1}{\tau }\int i dt = \frac{E}{R}\)             (3)

Expression de u_C(t) :

La solution de l’équation différentielle (1) est de la forme :
$u_C \left( t \right) = B + Ae^{ - \alpha t}$

où A, B et α sont des constantes à déterminer.

A t = 0, u_C = A + B = 0, d'où B = - A.

Il vient : $u_C \left( t \right) = A\left( {e^{ - \alpha t} - 1} \right)$

La dérivée de u_C(t) par rapport au temps s'écrit :
\[\frac{{du_C }}{{dt}} = - \alpha Ae^{ - \alpha t} \]

(1) donne : $ - \alpha Ae^{ - \alpha t} + \frac{1}{\tau }A\left( {e^{ - \alpha t} - 1} \right) = \frac{1}{\tau }E$

D’où : $ - A + \left( {1 - \tau \alpha } \right)Ae^{ - \alpha t} = E$

En égalisant membre à membre :

A = - E et $1 - \tau \alpha $ c.à.d. $\alpha = \frac{1}{\tau }$

Ainsi :

$u_C \left( t \right) = E\left( {1 - e^{ - \frac{t}{\tau }} } \right)$

La courbe représentative de u_C(t) est :

Expression de q(t) :

L’expression de la charge q du condensateur est q(t) = C.u_C(t), d’où :

$q\left( t \right) = {Q_0}\left( {1 - {e^{ - \frac{t}{\tau }}}} \right)$ avec $Q_0 = C.E$

La courbe q(t) présente une allure analogue à celle de u_C(t)

Expression de i(t) :

On a : $i\left( t \right) = \frac{{dq}}{{dt}}$ et $q\left( t \right) = Q_0 \left( {1 - e^{ - \frac{t}{\tau }} } \right)$ avec $Q_0 = C.E$ donc :

$i\left( t \right) = I_0 e^{ - \frac{t}{\tau }} $ avec $I_0 = \frac{{Q_0 }}{\tau } = \frac{{C.E}}{{RC}} = \frac{E}{R}$

Les variations de l’intensité i du courant dans le circuit au cours du temps :

Les variations au cours du temps de i(t) et u_DA(t) = R.i(t) sont analogues. On visualiser simultanément l’évolution de la tension u_C(t) et l’intensité i(t) :

- sur la voie Y1, la tension u_DA = Ri aux bornes du résistor.

- sur la voie Y2, la tension u_AB aux bornes du condensateur au lieu de u_BA et ce, en appuyant sur le bouton INV

II. Décharge d'un condensateur dans un résistor

1. Etude experimentale

Le condensateur étant préalablement chargé, on bascule le commutateur dans la position 2. Sur la voie Y2 de l’oscilloscope à mémoire, on enregistre l’oscillogramme traduisant u_C(t) suivant :

A t = 0, u_C = E. Par la suite u_C décroît du fait que l’énergie emmagasinée par le condensateur pendant la charge, est progressivement dissipée dans le résistor. La tension u_Cdécroît jusqu’à s’annuler. De même pour la charge q.

2. Etude théorique

u_C + u_R = 0 d’où u_C + R.i = 0
Or $i = \frac{{dq}}{{dt}} = C\frac{{du_C }}{{dt}}$, donc
$u_C + RC\frac{{du_C }}{{dt}} = 0$ ou bien $\frac{{du_C }}{{dt}} + \frac{1}{\tau }u_C = 0$ (4)
C’est une équation différentielle en u_C sans second membre.
On peut également obtenir les équations en q et i :

$\frac{{dq}}{{dt}} + \frac{1}{\tau }q = 0$ (5)
et
$i\left( t \right) + \frac{1}{\tau }\int i dt = 0$ (6)

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Expression de u_C(t) :

La solution de l’équation différentielle (4) est de la forme :
${u_C}\left( t \right) = A{e^{ - \alpha t}}$ où A et α des constantes à déterminer.

A t = 0, u_C = E donc A = E

C’est que ${u_C}\left( t \right) = E{e^{ - \alpha t}}$ et $\frac{{d{u_C}}}{{dt}} = - \alpha E{e^{ - \alpha t}}$
(4) donne : $ - \alpha E{e^{ - \alpha t}} + \frac{1}{\tau }E{e^{ - \alpha t}} = 0$ donc $ - \alpha E{e^{ - \alpha t}} + \frac{1}{\tau }E{e^{ - \alpha t}} = 0$

${u_C}\left( t \right) = E{e^{ - \frac{t}{\tau }}}$

La courbe représentative de la fonction u_C(t) au cours de la décharge est :

Expression de q(t) :

L’expression de la charge q du condensateur est q(t) = C.u_C(t), d’où :

$q\left( t \right) = {Q_0}{e^{ - \frac{t}{\tau }}}$ avec Q₀ = C.E

La courbe q(t) présente une allure analogue à celle de u_C(t)

Expression de i(t) :

On a $i\left( t \right) = \frac{{dq}}{{dt}}$ et $q\left( t \right) = {Q_0}{e^{ - \frac{t}{\tau }}}$ donc :

$i\left( t \right) = - {I_0}{e^{ - \frac{t}{\tau }}}$ avec ${I_0} = \frac{{{Q_0}}}{\tau } = \frac{{C.E}}{{RC}} = \frac{E}{R}$

Les variations de l’intensité i du courant dans le circuit au cours du temps :

On note bien pour i(t) le signe contraire de celui de l’intensité du courant de charge, c’est à dire que le courant de décharge circule dans le sens contraire de celui de charge.

On peut visualiser simultanément l’évolution de la tension u_C(t) et l’intensité i(t) lors de la décharge :

III. La durée de charge ou de décharge d'un condensateur

Considérons le montage suivant :

1. Influence de la résistance R

Faisons varier la résistance R du résistor, on obtient les résultats suivants (pendant la charge) :

Le temps de charge augmente avec la résistance R.

2. Influence de la capacité C

Pour le même, montage faisant varier C en gardant R constante.

Le temps de charge augmente avec la capacité C.

Remarque : On obtient les mêmes résultats lors de la décharge du condensateur : La durée de décharge augmente avec R et C.

3. Constante de temps
La durée de charge d’un condensateur est proportionnelle à R et à C donc au produit RC.

RC est appelé constante de temps, noté τ.

τ = RC : constante de temps

La constante de temps τ est une grandeur caractéristique du dipôle RC, elle renseigne sur la rapidité avec laquelle s’établit la tension u_C = E entre les armatures du condensateur. La charge et la décharge du condensateur sont d’autant plus rapides que la constante de temps τ est plus petite.

La dimension de τ :

$\tau = R.C = \frac{{\left[ U \right]}}{{\left[ I \right]}}.\frac{{\left[ I \right]\left[ T \right]}}{{\left[ T \right]}} = \left[ T \right]$ . La constante τ est bien homogène à un temps.

La détermination de τ :

Par le calcul :

Connaissant les valeurs de C et de R, on peut calculer directement la valeur de la constante de temps τ = RC.

Détermination graphique :

1^ère méthode :

On trace la tangente à la courbe de charge ou de décharge u_C(t) au point d’abscisse t = 0.

Cette tangente a pour équation u_C = a.t, a étant son coefficient directeur dont la valeur est donnée par :

$a = {\left. {\frac{{d{u_c}}}{{dt}}} \right)_{t = 0}}$ or $\frac{{d{u_c}}}{{dt}} = \frac{E}{\tau }{e^{ - \frac{t}{\tau }}}$ donc $a = {\left. {\frac{{d{u_c}}}{{dt}}} \right)_{t = 0}} = \frac{E}{\tau }$

d’où l’équation de la tangente : ${u_C} = \frac{E}{\tau }t$ .

L’intersection de cette tangente avec la droite u_C= E donne t = τ.

La même méthode de détermination graphique de τ s’applique à la courbe de décharge.

Remarque :

On peut déterminer τ en traçant la tangente à la courbe i(t) au point d’abscisse t = 0.

2^ème méthode :

* Dans le cas de la charge du condensateur, en remplaçant t par τ dans l’expression de uc(t), on obtient :

u_C = E(1-e^-1) = 0,63 E.

τ correspond donc au temps nécessaire pour charger un condensateur à 63%.

L’abscisse du point de la courbe u_C(t) d’ordonnée 0,63^E est τ

* Dans le cas de la décharge, en remplaçant t par τ dans l’expression de u_C(t), on obtient u_C = E e^-1 = 0,37E.

τ est alors l’abscisse du point de la courbe uC(t) d’ordonnée 0,37E.

Intérêt pratique de τ :

La tension u_C aux bornes du condensateur, étant donnée par l’expression u_C(t) = E (1-e^-t/τ) pendant la charge et par l’expression u_C(t) = E e^-t/τ pendant la décharge, atteint respectivement les valeurs u_C = E et u_C = 0 au bout des durées t infinies respectivement de charge et de décharge, ce qui n’est pas physiquement pratique.

On admet alors que le condensateur est complètement chargé ou déchargé quand la différence relative entre la valeur atteinte par u_Cet la valeur asymptotique E (pour la charge) ou zéro (pour la décharge) ne dépasse pas 1%.

Pour la charge par exemple :

$\frac{{E - {u_C}}}{E} \le 1\% $ c.à.d. $E - {u_C} \le 0,01E$ d'où ${u_C} \ge 0,99E$

Or ${u_C}\left( t \right) = E\left( {1 - {e^{ - \frac{t}{\tau }}}} \right)$

Donc à t = t_chargeon a : $0,99E = E\left( {1 - {e^{ - \frac{{{t_{ch\arg e}}}}{\tau }}}} \right)$ ce qui donne $\log \left( {{e^{ - \frac{{{t_{ch\arg e}}}}{\tau }}}} \right) = 0,01$

C.à.d. $\frac{{{t_{ch\arg e}}}}{\tau } = 2\ln 10 = 4,6 \approx 5$

t_charge = 5τ

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Objectifs

Réaliser la charge et la décharge d’un condensateur.
Reconnaître que l’intensité i du courant électrique est une grandeur algébrique.
Déterminer à l’aide de la courbe de charge d’un condensateur, la valeur de la capacité C.
Calculer l’énergie emmagasinée par un condensateur.

Contenu

I. Description sommaire d’un condensateur

II. Etude qualitative de la charge et la décharge d’un condensateur

III. Charge d’un condensateur et intensité du courant

1. Charge d’un condensateur

2. Intensité du courant

3. relation entre i et q

IV. Relation entre la charge q d’un condensateur et la tension u_C

V. Energie emmagasinée par un condensateur

I. Description sommaire d'un condensateur

Un condensateur est formé de deux conducteurs métalliques appelés armatures, séparés par un isolant qui peut être de l'air ou un diélectrique (air, plastique, polyéthène, mica, …).

Le condensateur est symboliquement représenté par deux traits parallèles qui représentent les armatures.

Dans le cas où les armatures sont planes et parallèles, le condensateur est dit plan.

II. Etude qualitative de la charge et la décharge d'un condensateur

Montage : E = 4,0 V , R = 1 kΩ, C = 1000 μF

Expérience 1 : La charge du condensateur, le commutateur K est en position 1.

Constatation :

L’aiguille du galvanomètre dévie d’un angle α dans un sens

Puis revient rapidement à sa position initiale.

Lorsqu’on ouvre le circuit et on le ferme de nouveau, on n’observe plus de déviation, on dit que le condensateur est chargé.

Interprétation :

Les armatures A (lié au pôle (+) du générateur) et B (lié au pôle (–) du générateur) sont initialement neutres.

Des déplacement d’électrons s’effectuent alors, dans les fils conducteurs, de l’armature A vers le pôle (+) et du pôle (–) vers l’armature B.

A présente un déficit d'électrons q_A > 0, et B présente un excès d'électrons q_B < 0. q_A = – q_B à chaque instant.

Par définition, la quantité q_A = - q_B représente la charge du condensateur. C’est une grandeur positive. Elle s’exprime en Coulomb C. On l’appelle aussi ; quantité d’électricité emmagasinée.

Le déplacement des électrons fait apparaitre un d.d.p. U_AB = V_A – V_B et ne cesse que lorsque V_A soit égal au potentiel du pôle (+) et V_B soit égal au potentiel du pôle (–), c.à.d. V_A – V_B = E, dans ce cas le condensateur est dit chargé et aucun courant ne circule.

Expérience 2 : La décharge du condensateur, le commutateur K est en position 2.

Constatation :

L’aiguille du galvanomètre dévie du même angle α mais dans le sens contraire.

Interprétation :

La déviation de l’aiguille du galvanomètre dans le sens contraire prouve que les électrons accumulés en B quitte cette armature et passent en A. cette circulation cesse lorsque le condensateur est totalement déchargé (V_A= V_B) et q_A = q_B = 0

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III. Charge d'un condensateur et intensité du courant

1. Charge d’un condensateur

On appelle la charge q d’un condensateur, la charge portée par son armature liée à la borne (+) du générateur (q>0).

2. Intensité du courant

Constatation :

Lorsqu’on place K sur la position (1) : Le condensateur se charge et seulement la diode D1 s’allume (passante)

Lorsqu’on place K sur la position (2) : Le condensateur se décharge et seulement la diode D2 s’allume (passante)
Interprétation :

Lors de la charge du condensateur, le courant qui circule est celui débité par le générateur et dont le sens qui sera positif. Ce courant allume D1 seulement (D1 passante)

Lors de la décharge du condensateur le courant et de sens contraire (sens (-) ce qui explique l’allumage de D2.

Conclusion :

L’intensité du courant est une grandeur algébrique :

I > 0 si le courant circule dans le sens (+) choisi

I < 0 si le courant circule dans le sens contraire au sens (+) choisi

A l’aide d’un oscilloscope à mémoire, on visualise la tension u_R aux bornes du résistor lorsque le commutateur K est respectivement en position 1 et en position 2

3. relation entre i et q

L’intensité du courant étant la quantité d’électricité transportée (ou traversant une section droite) par unité de temps, on a :

\[i\left( t \right) = \frac{{dq}}{{dt}}\]

Remarque : lorsqu’il s’agit d’un courant constant, on peut écrire

\[i = \frac{q}{t}\] ou \[i = \frac{{\Delta q}}{{\Delta t}}\]

IV. Relation entre la charge q d'un condensateur et la tension uC

Le générateur de courant délivre une intensité constante I₀ ≈ 0,144 mA.

Remarque : il faut décharger le condensateur par court-circuiter les deux armatures avant de manipuler.

La charge q étant proportionnelle à la durée t, on a q = I.t.

Étudier q en fonction de la tension u_C aux bornes du condensateur revient à étudier u_C en fonction du temps.

On ferme K1 et on déclenche le chronomètre. Avec un chronomètre, on mesure toutes les 5 secondes la tension u_C = u_AB

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Pour I = 0,144 mA par exemple, on obtient les résultats consignés dans le tableau suivant :

t (s)	0	5	10	15	20	25	30
u_C (V)	0	1,5	3	4,6	6,1	7,6	9,2

La courbe u_C = f(t) est une droite qui passe par l’origine.

u_C = kt avec k = 0,3 V.s^-1. On en déduit que la tension u_C est proportionnelle à la durée t de passage du courant de charge.

Compte tenu de la relation q = It, il vient : u_C = k.q/I d’où q = (I / k)u_C

I est constant, le quotient (I / k) est constant, noté C.

Ainsi q = C.u_C

Le facteur de proportionnalité C est une grandeur qui caractérise l’aptitude du condensateur à emmagasiner une charge électrique q lorsqu’il est soumis à une tension u_C, appelée capacité du condensateur. C est une grandeur mesurable. Dans le système international d’unités, elle s’exprime en Farad (F).

Des sous multiples du farad :

- le millifarad : 1 mF = 10^-3 F

- le microfarad : 1 μF = 10^-6 F

- le nanofarad : 1 nF = 10^-9 F

- le picofarad : 1 pF = 10^-12 F

Remarque :

* lorsque la tension u_C est très élevée, les charges +q et -q portées par les armatures du condensateur font jaillir des étincelles à travers le diélectrique qui sera à son tour troué et perdra alors son caractère isolant. On dit que le condensateur a claqué (détérioré) et On appelle tension de claquage d’un condensateur la plus petite tension (en valeur absolue) faisant jaillir une étincelle entre les armatures du condensateur.

* La capacité d’un condensateur plan est proportionnelle à la surface S des armatures en regard et inversement proportionnelle à l’écartement e de ses armatures.

On peut écrire :

\[C = \varepsilon \frac{S}{e}\]

ε est une constante qui ne dépend que de la nature du diélectrique, on l’appelle permittivité absolue du diélectrique. Dans le système international d’unités, ε s’exprime en farads par mètre.

La permittivité ε_o du vide est :

\[\varepsilon _0 = \frac{1}{{36\pi 10^9 }}\left( {F.m^{ - 1} } \right)\]

V. Energie emmagasinée par un condensateur

On réalise le montage ci-dessous : il comporte un générateur délivrant une tension continue E réglable, un condensateur de très grande capacité C, un petit moteur électrique M et un commutateur K.

On place le commutateur K dans la position 1 puis on le bascule sur la position 2, le moteur se met à tourner, puis s’arrête spontanément.

Le condensateur est un réservoir d’énergie potentielle électrique (ou électrostatique).

Cette énergie se manifeste, lors de la décharge du condensateur, en se transformant en énergie thermique dans les différents conducteurs, en énergie cinétique dans un moteur, en énergie lumineuse dans une diode LED par exemple...

L’énergie électrostatique emmagasinée par un condensateur de capacité C, chargé sous une tension u_C, s’exprime par :

\[E_C = \frac{1}{2}C.u_C^2 \]

Avec C en farad et u_C en volt, E_Cs’exprime en joule. En utilisant la relation q = C.u_C, on obtient :

\[E_C = \frac{1}{{2C}}q_{}^2 = \frac{1}{2}q.u_C^{} \]

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Chap.02 : Le dipôle RC

Le dipôle RC est constitué d’un résistor de résistance R associé en série avec un condensateur de capacité C. A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur à la position 1. La tension aux bornes du dipôle RC passe alors instantanément de 0 à E : c’est un échelon de tension.

1. Etude experimentale

2. Etude théorique

1. Etude experimentale

Le condensateur étant préalablement chargé, on bascule le commutateur dans la position 2. Sur la voie Y2 de l’oscilloscope à mémoire, on enregistre l’oscillogramme traduisant uC(t) suivant :

A t = 0, uC = E. Par la suite uC décroît du fait que l’énergie emmagasinée par le condensateur pendant la charge, est progressivement dissipée dans le résistor. La tension uC décroît jusqu’à s’annuler. De même pour la charge q.

2. Etude théorique

\(\frac{{dq}}{{dt}} + \frac{1}{\tau }q = 0\) (5)et\(i\left( t \right) + \frac{1}{\tau }\int i dt = 0\) (6)

Considérons le montage suivant :

1. Influence de la résistance R

2. Influence de la capacité C

Chap.01 : Le condensateur

1. Charge d’un condensateur

2. Intensité du courant

3. relation entre i et q

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Le dipôle RC est constitué d’un résistor de résistance R associé en série avec un condensateur de capacité C.

A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur à la position 1. La tension aux bornes du dipôle RC passe alors instantanément de 0 à E : c’est un échelon de tension.

Le condensateur étant préalablement chargé, on bascule le commutateur dans la position 2. Sur la voie Y2 de l’oscilloscope à mémoire, on enregistre l’oscillogramme traduisant u_C(t) suivant :

A t = 0, u_C = E. Par la suite u_C décroît du fait que l’énergie emmagasinée par le condensateur pendant la charge, est progressivement dissipée dans le résistor. La tension u_Cdécroît jusqu’à s’annuler. De même pour la charge q.

\(\frac{{dq}}{{dt}} + \frac{1}{\tau }q = 0\) (5)
et
\(i\left( t \right) + \frac{1}{\tau }\int i dt = 0\) (6)